Depois do Pi, a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, o Phi, ou número de ouro, subentende um dos conceitos mais bonitos da geometria: a auto-similaridade.
Este número, também conhecido como "proporção divina" ou razão áurea, é presente em modelos matemáticos de crescimento populacional e no crescimento de plantas e animais. Em nossa anatomia, podemos encontrar o número de ouro, como razão de proporção entre membros, posição de articulações, na constituição celular de tecidos e outros.Pode-se obter o número de ouro, a partir da segunda figura geométrica regular: o quadrado. A partir dele, constrói-se também o conceito básico de auto-similaridade.
Suponha um quadrado ABCD cuja medida do lado é "a".
assim AB = BC = CD = AD = a
tome o ponto médio do lado AD. assim AM = DM = a/2
Da medida do segmento MC, a partir do ponto M, forma-se o segmento EM, colinear à AD. O retângulo ABFE formado nessa construção, é semelhante ao retângulo EDCF. Neste último, analogamente ao procedimento anterior, é possível verificar a auto-similaridade nos retângulos menores.
Quando ligamos os arcos formados pelos "quartos de círculo", dentro de cada quadrado, teremos uma espiral, chamada "espiral de ouro". Esta espiral é encontrada em conchas espiraladas de moluscos, como o náutilo.
Um retângulo que possua a razão entre seus lados (maior e menor), igual ao número Phi = 1,6180339887.., é chamado de retângulo áureo.
Proposição: o retângulo ABFE, como descrito acima, é aureo.
Demonstração:
pelo teorema de Pitágoras: CM² = DM² + CD² = (a/2)² + a² = 5a²/4
então: CM = a√5/2
como CM = EM e AE = AM + EM
então: AE = a/2 + a√5/2 = a(1 + √5)/2
assim: AE/AB = a(1 + √5)/2a = (1 + √5)/2 = 1,6180339887..
logo, o retângulo ABDE é aureo.
Analogamente, demonstra-se as mesmas propriedades para o retângulo EDCF e todos os outros menores, obtidos pela repetição do processo descrito anteriormente.
Phi (Φ), é uma homenagem ao arquiteto grego, Phídeas.
